Аналитические свойства решений некоторых классических и некоммутативных интегрируемых систем

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Страниц:
75

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Решения интегрируемых систем, возникающих в современной математической физике, обладают рядом специфических аналитических свойств, которые пока еще мало изучены. Под аналитическими свойствами в главе 1 понимаются принадлежность области определения функционала энергии, конечность энергии, устойчивость решений- в главе 2 — ограничения на порядки полюсов и коэффициенты Лорана решений. Цель данной работы — изучение этих аналитических свойств и, когда это возможно, описание самих решений.

В главе 1 рассматривается грассманова некоммутативная U (1) сигма-модель, являющаяся простейшим случаем некоммутативной грассмановой U (n) сигма-модели — некоммутативного аналога классической вещественно-двумерной грассмановой сигма-модели. Сначала кратко опишем классическую модель. Обозначим через комплексный грассманиан (то есть многообразие /с-мерньтх комплексных подпространств в Сп). Мы будем отождествлять его точки с ортогональными проекторами в Сп с fc-мерным образом (и (п — /с)-мерным ядром). Рассмотрим произвольное отображение /: CP1 -> Grk{С& quot-) (иначе говоря, f (z) при каждом -г есть матрица /с-мерного ортогонального проектора в Сп). Энергия отображения / задается функционалом

E{f): =J (Ш2 + dyf2) dxdy = J | d-J2dxdy, с с где z = х + iy, д~ = (дх + гду)/2 — производная по z, а А2 — tr (A*A) — квадрат нормы Гильберта-Шмидта произвольной матрицы А. Экстремали данного функционала (решения модели) называются гармоническими отображениями. (Подробнее об этой модели см. [26].)

В теории струн возникает некоммутативный аналог приведенной выше модели, который рассматривался также в [7], [8], [17], [22]. Он получается из классической модели переходом на некоммутативную плоскость 6 > 0. Переход основан на правилах исчисления Вейля псевдодифференциальных операторов (см. [14], глава XVIII) и приводит к следующей картине. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, а и а* - стандартные операторы уничтожения и рождения в Н. (Точные определения операторов, а и а* даны в разделе 1.1.) В некоммутативной грассмановой U (п) сигма-модели вместо отображений /(•): CP1 -> рассматриваются ортогональные проекторы Р на гильбертовом пространстве Сп& reg- Н = Нп. Производная д~{-) заменяется на < 8> о, •]> производная д2(-) — на ® а*, •]> а интеграл по комплексной плоскости С — на 2ОТгн, где Тг# - след оператора по пространству Н. Поэтому функционалу E (f) соответствует функционал

E (P) = \[I®a, P)\2HS, где Нб’Ид^ = TrHn{S*S) — квадрат нормы Гильберта-Шмидта оператора S (здесь Trjjn — это след по всему пространству Нп). Экстремали этого функционала (решения грассмановой U (n) сигма-модели) являются некоммутативными аналогами гармонических отображений из CP1 в Grk (C-n). В диссертации изучается только некоммутативная грассманова U (l) сигма-модель. Эта модель представляет интерес, несмотря на то, что ее коммутативный аналог тривиален (так как в С существует всего два проектора — тождественный оператор и нулевой оператор). Она является простейшей из некоммутативных грассмановых U (п) сигма-моделей и, помимо этого, выделяется из общего ряда тем, что в U (l) сигма-модели определяющий ее оператор / ® а, совпадающий с а, неприводим. Полное определение некоммутативной грассмановой U (1) сигма-модели и ее простейшие свойства приведены в

разделе 1.1. Ее отличие от других некоммутативных U (п) моделей и аналогии с коммутативными моделями обсуждаются в разделе 1.5.

Теперь сформулируем результаты главы 1. В разделе 1.2 явно описываются все решения с одномерным образом и полностью исследован вопрос об устойчивости таких решений. Обозначим через с когерентное состояние — единственный (с точностью до умножения на 9 с = 1) нормированный собственный вектор оператора а, соответствующий собственному значению, А? С (подробнее см. раздел 1. 1). Тогда основной результат этого раздела формулируется следующим образом (опубликовано в [11]).

Теорема 1 Проектор Р с одномерным образом является решениель тогда и только тогда, когда его образ есть линейная оболочка вектора вида (а* - У с, для некоторых, А € С u j = 0,1,. Минимумами (локальными) среди них являются проекторы на когерентные состояния с. Максимумы отсутствуют.

Кроме того, так как Е (Р) — Е (1 — Р), эта теорема дает еще и полное описание решений с одномерным ядром.

Операторы, а и а* определяют естественный для них ортонормированный базис {en}^L0 в пространстве Н, где вектор ео выделяется условием аео = 0, а еп — это нормированные вектора (а*)пео (в разделе 1.1 этот базис называется каноническим). В разделе 1.3 рассматриваются проекторы на линейные оболочки конечных наборов векторов из канонического базиса. Все они являются решениями рассматриваемой модели. Мы исследуем гессиан функционала энергии в этих точках. (То есть симметрический оператор, построенный по второй вариации функционала энергии в точке, являющейся таким проектором.) Оказывается, что он имеет отрицательное собственное значение во всех точках, кроме проекторов на линейную оболочку векторов во, е,., еп (теорема 2). Последние являются локальными минимумами, так как обладают тем свойством, что их образ инвариантен относительно оператора а. Проекторы, обладающие таким свойством, называют BPS-решениями (подробнее см. раздел 1. 1).

Результаты разделов 1.2 и 1.3 подтверждают гипотезу, выдвинутую в разделе 1.5 и основанную на коммутативной аналогии, что локальными минимумами некоммутативной грассмановой модели являются только BPS-решения и анти-БРЭ-решения (проекторы, дополнительные к BPS-решениям).

1. Э. Л. Айне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, 1939 г.

2. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Наука, Москва, 1965.

3. А. О. Гсльфонд, Исчисление конечных разностей, Москва, Физматтиз, 1959 г.

4. А. В. Домрин, Замечания о локальном варианте метода обратной задачи рассеяния, Труды МИАН 253(2006), стр. 46−60.

5. А. В. Домрин, Локальная голоморфная задача Коши для солитонных уравнений параболического типа, ДАН, 2008, 420, № 1, стр. 14−17.

6. А. В. Домрин, Мероморфное продолжение решений солитонных уравнений, Изв. РАН Сер. матем. 74 (2010), вып. З, стр. 23−44.

7. А. В. Домрин, Некоммутативные унитоны., Теор. и матем. физика, 154 (2008) № 2, стр. 220−239.

8. А. В. Домрин, Пространства модулей решений некоммутативной сигма-модели., Теор. и матем. физика, 156 (2008) № 3, стр. 307−327.

9. А. В. Домрин, А. В. Домрина, О расходимости ряда Концевича-Виттена, Успехи математических наук, 63, вып. 4(382) (2008), стр. 185−186 | 'ylibka.org.ua', 27 |.

10. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, J1. П. Питаевский, Теория со-литонов. Метод обратной задачи, М., Наука, 1980 г.

11. А. В. Комлов, Некоммутативная граееманова U (1) сигма-модель и пространство Баргмана-Фока, Теор. и матем. физика, 153 (2007), № 3, стр. 347−357.

12. А. В. Комлов, О полюсах пикаровских потенциалов, Труды ММО, 71 (2010), стр. 271−283.

13. А. В. Комлов, Оценки классов Жеврея данных рассеяния для полиномиальных потенциалов, УМН, 2008, 63: 4(382), стр. 189−190.

14. Л. Хермандер, Анализ линейных дифференгщальных операторов с частными производными, том III: Псевдодифференциальные операторы, Мир, Москва, 1987.

15. V. Bargmann, On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform, part 1, Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961).

16. F. E. Burstall, J. H. Rawnsley, Stability of classical solutions of two-dimensional Grassmannian models, Comm. Math. Phys. 110 (1987), pp. 311 316.

17. A.V. Domrin, O. Lechtenfeld and S. Petersen, Sigma-rnodel solitons in the noncommutative plane: construction and stability analysis, JHEP 0503 (2005) 045 hep-th/412 001].

18. F. Gesztesy, K. Unterkofler, and R. Weikard, An explicit characterization of Calogero-Moser systems, Trans. AMS 358 (2006), pp. 603−656.

19. F. Gesztesy, R. Weikard, Elliptic algebro-geometric solutions of the KdV and AKNS hierarchies an analytic approach, Bull. AMS 35(1998), pp. 271−317.

20. N. Joshi, J.A. Petersen, L.M. Schubert, Nonexistence results for the Korteweg-de Vries and Kadomtsev-Petviashvili equations, Studies in Appl. Math., 105, pp. 361−374 (2000)

21. A. Komlov, Noncommutative Grassmannian U (1) sigma-model and Bargmann-Fock Space, Journal of Geometry and Symmetry in Physics, v. 10 (2007), pp. 73−81.

22. O. Lechtenfeld and A. D. Popov, Noncommutative multisolitons in 2+1 dimensions, JHEP 0111 (2001) 40 hep-th/106 213].

23. D. J. Newman, H. S. Shapiro, Fisher spaces of entire functions, AMS Proc. Symp. Pure Math., v. XI «Entire functions and related parts of analysis"(1968), pp. 360−369.

24. J. Sacks, К. K. Uhlenbeck, The existence of minimal immersions of two-spheres. Ann. Math. 113, pp. 1−24 (1981)

25. C. -L. Terng and K. Uhlenbeck, Backlund transformations and loop group actions, Comm. Pure Appl. Math. 53 (2000), pp. 1−75.

26. W. J. Zakrzewski, Low dimensional sigrna models, Adam Hilger, Bristol, 1989.

Показать Свернуть

Содержание

Глава 1. Некоммутативная грассманова U{ 1) сигма-модель

1.1 Основные понятия и определения

1.2 Описание решений ранга

1.3 Устойчивость диагональных решений.

1.4 Бесконечномерные BPS-рептения.

1.4.1 Построение класса бесконечномерных BPS-решений

1.4.2 Пример BPS-решения с бесконечной энергией.

1.5 Открытые вопросы и комментарии.

Глава 2. Локальная голоморфная задача Коши для интегрируемых эволюционных уравнений

2.1 Верхние оценки классов Жеврея полиномиальных 2×2-потенциалов.

2.2 Нижние оценки классов Жеврея мономиальных 2×2-потенциалов и приложения.

2.3 Условия пикаровости 2×2-потенциалов.

2.4 Необходимое условие пикаровости симметрических 2×2-потенциалов.

Заполнить форму текущей работой